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@Bel Hola Bel"
A vos te queda: $= \frac{1}{9} \left( (3x + 1)\sin(3x + 1) - \sin(3x + 1) + \cos(3x + 1) \right) + C$
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GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4.
Calcular.
d) $\int x \cos (3 x+1) dx$
d) $\int x \cos (3 x+1) dx$
Respuesta
Usamos la sustitución \(u = 3x + 1\). Entonces, \(du = 3 \, dx\) -> \(dx = \frac{1}{3} \, du\).
Reportar problema
La integral se convierte en:
$\int x \cos(3x + 1) \, dx = \int x \cos u \cdot \frac{1}{3} \, du$ -> PERO ESTO ESTÁ MAL! NO LO ESCRIBAS!!
¿Por qué está mal? Porque en una misma integral no podemos tener dos variables diferentes. Ahora estamos derivando en función de $u$, esa es nuestra variable, $x$ no debe aparecer! ¿Cómo resolvemos esto? Fácilmente, nosotros dijimos que $u = 3x + 1$, entonces vamos a despejar $x$ de ahí:
$u = 3x + 1$
$u-1 = 3x$
$\frac{u - 1}{3} = x$
Ahora sí, la integral nos queda toda en función de una única variable $u$:
$
\int x \cos(3x + 1) \, dx = \int \frac{u - 1}{3} \cos u \cdot \frac{1}{3} \, du
$
Simplificamos la constante:
$
= \frac{1}{9} \int (u - 1) \cos u \, du
$
Usamos la integración por partes para resolver \(\int u \cos u \, du\). Sea \(v = u\) y \(dw = \cos u \, du\).
Entonces, \(dv = du\) y \(w = \sin u\).
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
$
\int u \cos u \, du = u \sin u - \int \sin u \, du
$
La integral de \(\sin u\) es \(-\cos u\):
$
= u \sin u + \cos u + C
$
Entonces, la integral original se convierte en:
$
\frac{1}{9} \int (u \cos u - \cos u) \, du = \frac{1}{9} \left( \int u \cos u \, du - \int \cos u \, du \right)
$
Sustituimos la integral de \(u \cos u\) que encontramos antes:
$
= \frac{1}{9} \left( u \sin u + \cos u - \sin u \right) + C
$
Volvemos a reemplazar \(u = 3x + 1\):
$= \frac{1}{9} \left( (3x + 1)\sin(3x + 1) + \cos(3x + 1) - \sin(3x + 1) \right) + C$
Podés dejarlo así, o podés seguir operando para reducir un poco la expresión (recordá que no es necesario)
$= \frac{1}{9} \left( (3x + 1)\sin(3x + 1) - \sin(3x + 1) + \cos(3x + 1) \right) + C$
Hacemos la distributiva de $(3x + 1)\sin(3x + 1)$ -> $3x \sin(3x + 1) + \sin(3x + 1)$
$= \frac{1}{9} \left( 3x \sin(3x + 1) + \sin(3x + 1) - \sin(3x + 1) + \cos(3x + 1) \right) + C$
$= \frac{1}{9} \left( 3x \sin(3x + 1) + \cancel{\sin(3x + 1)} - \cancel{\sin(3x + 1)} + \cos(3x + 1) \right) + C$
$= \frac{1}{9} \left( 3x \sin(3x + 1) + \cos(3x + 1) \right) + C$
Por lo tanto,
$
\int x \cos (3 x+1) \, dx = \frac{1}{9} (3x \sin (3x + 1) + \cos (3x + 1)) + C
$
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Comentarios
Julieta
PROFE
26 de junio 12:53
A vos te queda: $= \frac{1}{9} \left( (3x + 1)\sin(3x + 1) - \sin(3x + 1) + \cos(3x + 1) \right) + C$
Hacemos la distributiva de $(3x + 1)\sin(3x + 1)$ -> $3x \sin(3x + 1) + \sin(3x + 1)$
$= \frac{1}{9} \left( 3x \sin(3x + 1) + \sin(3x + 1) - \sin(3x + 1) + \cos(3x + 1) \right) + C$
$= \frac{1}{9} \left( 3x \sin(3x + 1) + \cancel{\sin(3x + 1)} - \cancel{\sin(3x + 1)} + \cos(3x + 1) \right) + C$
$= \frac{1}{9} \left( 3x \sin(3x + 1) + \cos(3x + 1) \right) + C$
No hace falta que hagas todo eso, con que llegues a la expresión del principio está bien. A veces, si la operación es sencilla, es útil reducirla pero otras es medio engorroso.
No hace falta que hagas todo eso, con que llegues a la expresión del principio está bien. A veces, si la operación es sencilla, es útil reducirla pero otras es medio engorroso.
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